Eqs. (6-8)로부터 Kalman 필터의 상태변수는 Eq. (9)와 같이 정의할 수 있다.

$$\begin{align}
X_{k} &= \begin{bmatrix} X_{SHE,k} & X_{RIFB,k} & X_{SIFB,k} \end{bmatrix}^{T} \nonumber \\
X_{SHE,k} &= \begin{bmatrix} C_{00,k} & C_{10,k} & C_{11,k} & S_{11,k} & C_{20,k} & C_{21,k} & S_{21,k} & C_{22,k} & S_{22,k} \end{bmatrix} \nonumber \\
X_{RIFB,k} &= \begin{bmatrix} B^{o}_{1,G,1C2W,k} & \cdots & B^{q}_{1,E,1X5X,k} & \cdots & B^{q}_{M,E,1X5X,k} \end{bmatrix} \nonumber \\
X_{SIFB,k} &= \begin{bmatrix} b^{o}_{G,1C2W,k} & \cdots & b^{No}_{G,1C2W,k} & b^{1q}_{E,1X5X,k} & \cdots & b^{Jq}_{E,1X5X,k} \end{bmatrix}
\end{align}$$

여기서, $X_{SHE}$는 SHE 모델 매개변수 벡터, $X_{RIFB}$는 수신기 IFB 벡터, 그리고 $X_{SIFB}$는 위성 IFB 벡터를 의미한다. M은 기준국의 개수, N은 GPS 위성의 개수, J는 Galileo 위성의 개수를 의미하며, 기준 위성 IFB에 의해 차분된 위성/수신기 IFB는 Eq. (10)같이 정의한다.

$$\begin{align}
B^{o}_{r,G,1C2W} &= B_{r,G,1C2W} – b^{o}_{G,1C2W} \nonumber \\
B^{q}_{r,E,1X5X} &= B_{r,E,1X5X} – b^{q}_{E,1X5X} \nonumber \\
b^{jo}_{G,1C2W} &= b^{j}_{G,1C2W} – b^{o}_{G,1C2W} \nonumber \\
b^{jq}_{E,1X5X} &= b^{j}_{E,1X5X} – b^{q}_{E,1X5X}
\end{align}$$

Kalman 필터는 크게 시 전달(time propagation) 부분과 측정 갱신(measurement update) 부분으로 나뉜다. 이전 시점의 후 추정값을 시 전달하기 위해 상태 천이 행렬 및 프로세스 잡음 공분산 행렬을 정의하여야 한다. 본 연구에서 SHE 매개변수는 Random Walk으로 모델링하며, 공정 잡음의 분산은 Chen et al. (2023)에 제시된 방법을 사용하여 설정한다. 위성 및 수신기 IFB는 장기간 안정성을 가진다고 가정하며, 본 연구에서는 상수로 모델링 한다. 상태 천이 행렬과 공정 잡음의 공분산 행렬은 Eqs. (11, 12)와 같이 정의한다.

$$\Phi = \begin{bmatrix}
I_{9} & O & O \\
O & I_{2M} & O \\
O & O & I_{(N+J-2)}
\end{bmatrix}$$

$$Q_k = \begin{bmatrix}
Q_{SHE,k} & O & O \\
O & Q_{RIFB} & O \\
O & O & Q_{SIFB}
\end{bmatrix}$$

여기서, $I_n$은 n×n 단위 행렬을 의미하며, $Q_{SHE}$, $Q_{RIFB}$, 그리고 $Q_{SIFB}$는 각각 SHE 매개변수, 수신기 IFB, 그리고 위성 IFB에 대한 공정 잡음 공분산 행렬을 의미한다.

Kalman 필터의 측정 갱신에 사용하는 관측 행렬(observation matrix) 및 측정 벡터(measurement vector)는 Eqs. (13, 14)와 같다.

$$Y_k = \begin{bmatrix}
y_{1,G,k} \\
y_{1,E,k} \\
\vdots \\
y_{M,G,k} \\
y_{M,E,k}
\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
\tilde{\rho}^{1o}_{1,G,1C2W,k} & \cdots & \tilde{\rho}^{No}_{1,G,1C2W,k} \\
\tilde{\rho}^{1q}_{1,E,1X5X,k} & \cdots & \tilde{\rho}^{Jq}_{1,E,1X5X,k} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
\tilde{\rho}^{1o}_{M,G,1C2W,k} & \cdots & \tilde{\rho}^{No}_{M,G,1C2W,k} \\
\tilde{\rho}^{1q}_{M,E,1X5X,k} & \cdots & \tilde{\rho}^{Jq}_{M,E,1X5X,k}
\end{bmatrix}^T$$

$$H_k = \begin{bmatrix}
h_{SHE,1,G,k} & h_{RIFB,1} & O & h_{SIFB,G} & O \\
h_{SHE,1,E,k} & O & h_{RIFB,1} & h_{SIFB,E} & \cdots \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \\
h_{SHE,M,G,k} & h_{RIFB,M} & O & h_{SIFB,G} & O \\
h_{SHE,M,E,k} & O & h_{RIFB,M} & O & h_{SIFB,E}
\end{bmatrix}$$

여기서, G와 E는 GPS와 Galileo 위성군에 대한 지시자를 의미하며, M은 수신기의 개수, 그리고 N과 J는 각각 GPS와 Galileo 위성의 개수를 의미한다. o와 q는 각각 GPS와 Galileo의 기준 위성을 의미한다. $h_{RIFB,r}$은 r-번째 열벡터가 모두 1인 M×M 행렬을 의미하며, $h_{SIFB,G}$와 $h_{SIFB,E}$는 각각 N×N 단위행렬과 J×J 단위 행렬을 의미한다.

위성항법시스템 또는 보강항법시스템과 같이 감시국이나 기준국을 활용하는 시스템의 경우, 지상 장비(ground segment)의 고장이나 유지보수에 의해 감시국/기준국의 중단(outage)이 발생할 수 있다. 또한, 지역적인 분포를 가지는 감시국이나 기준국을 활용하는 시스템은 가시위성의 변화를 고려하여 보강데이터를 생성하여야 한다. 본 연구는 지역적인 기준국 네트워크와 Kalman 필터를 사용하여 순차적으로 전리층 지연과 기준 IFB에 대해 상대적인 위성/수신기 IFB를 추정하며, 기준 IFB는 활용하는 위성군 별로 한 기의 기준국 또는 위성에 대해 설정이 가능하다. 감시국/기준국 수신기의 중단(outage) 또는 위성의 가시성에 따라 기준 IFB가 포함된 측정데이터가 존재하지 않을 경우, 해당시점의 관측 행렬은 가관측하지 않게 된다. 따라서, 측정데이터에 기준 기준국 또는 위성이 포함되는지 여부에 따라 기준 IFB를 변경해주어야 한다.

본 연구에서는 기준 IFB를 각 위성군 별 한기의 위성으로 정의하며, 위성의 가시성 또는 중단(outage) 여부에 따라 기준 IFB를 변경한다. 본 연구에서 정의한 상태변수는 Eq. (9)와 같으며, 기준 위성 IFB 변경을 위해 Eq. (15)와 같이 정의한다.

$$X_{k-1}(o_k, q_k) = \Gamma_{k,k-1} X_{k-1}(o_{k-1}, q_{k-1})$$

여기서 $X_{k-1}(a, b)$는 a-번째 GPS 위성과 b-번째 Galileo 위성 IFB를 기준으로 한 (k-1) 시점의 상태변수를 의미한다. $\Gamma_{k,k-1}$은 기준 위성 IFB 변경에 따라 상태변수를 변경해 주는 행렬을 의미하며, Eq. (16)과 같다.

$$\Gamma_{k,k-1} = \begin{bmatrix}
I_{9} & O & O & O \\
O & I_{M} & O & O \\
O & O & I_{I} – \Lambda_{I \times I}(o_k) & O \\
O & O & O & I_{J} – \Lambda_{J \times J}(q_k)
\end{bmatrix}$$

여기서, $I_n$은 n×n 단위 행렬을 의미하며, $\Lambda_{m \times n}(a)$는 a-번째 열이 모두 1로 구성된 m×n 행렬을 의미한다. 기준 위성 IFB 변경에 따라 오차 공분산 행렬은 Eq. (16)을 사용하여 Eq. (17)과 같이 변경이 가능하다.

$$P_{k-1}(o_k, q_k) = \Gamma_{k,k-1} P_{k-1}(o_{k-1}, q_{k-1}) \Gamma_{k,k-1}^T$$

설계된 Kalman 처리 절차는 Fig. 1과 같다. Fig. 1에서 $\bar{X}$과 $\hat{X}$은 각각 전/후 추정값을 의미하며, 과 는 각각 전/후 추정 오차 공분산 행렬을 의미한다.

Kalman 필터의 초기화 단계(initialization)에서는 사전에 정의된 필터 상태변수와 오차 공분산 정보를 사용한다. 먼저, SHE 매개변수의 초기값은 0으로 설정하거나 IONosphere Map Exchange 데이터로부터 추정된 매개변수를 사용하여 설정이 가능하다. 차분된 위성 IFB의 초기값은 모두 0으로 설정하며, 차분된 수신기 IFB의 초기값은 Fitted Receiver Bias 기법 (Ma & Maruyama 2003)을 사용하여 설정한다. Kalman 필터 상태변수에 대한 오차 분산의 초기값은 경험적인 값을 사용하여 설정할 수 있으며, 본 연구에서는 상태변수가 필터에 의해 수렴이 가능하도록 충분히 큰 값(100.0 m²)으로 초기값을 설정한다.