Journal of Positioning, Navigation, and Timing (J Position Navig Timing; JPNT)
Hung Seok Seo†
, Yun Sub Choi
GNSS Center, Microinfinity Co., Ltd., Daejeon 34012, Korea
†Corresponding Author: Hung Seok Seo, E-mail: hungserk@gmail.com
Citation: Seo, H.S., Choi, Y.S. 2026, DLL Tracking Bias from C/A Code Cross-Correlation Under GEO Geometry, Journal of Positioning, Navigation, and Timing, 15, 167-174.
Journal of Positioning, Navigation, and Timing (J Position Navig Timing) 2026 June, Volume 15, Issue 2, pages 167-174. https://doi.org/10.11003/JPNT.2026.15.2.167
Received on Mar 25, 2026, Revised on Apr 28, 2026, Accepted on Apr 30, 2026, Published on Jun 15, 2026.
Copyright © The Institute of Positioning, Navigation, and Timing
License: Creative Commons Attribution Non-Commercial License (https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/) which permits unrestricted non-commercial use, distribution, and reproduction in any medium, provided the original work is properly cited.
cross-correlation, CDMA multiple access interference (MAI), discriminator asymmetry, code tracking bias
Global Positioning System (GPS) L1 C/A 신호는 1023 chip 길이의 Pseudo-Random Noise (PRN) 코드로 확산되며, 동일 주파수 대역에서 여러 위성 신호를 동시에 송신할 수 있도록 Code Division Multiple Access (CDMA) 구조를 채택하고 있다. 확산코드 설계는 사용자 간 간섭을 최소화하도록 교차상관을 작게 유지하도록 고안되었으나, 골드 코드의 교차상관은 본질적으로 0이 아니며 이는 Multiple Access Interference (MAI)의 근본 원인이 된다. GPS 신호 구조/코드 특성은 IS-GPS-200에 정의되어 있다 (U.S. Coast Guard NAVCEN 2022).
기존 연구들에서는 간섭이 신호 추적 루프에 미치는 영향을 “간섭”, “근거리-원거리 (near-far)”, “MAI”의 관점에서 분석해 왔으며, 추적 바이어스와 루프 민감도 및 지터에 대한 모델을 정립하였다 (Van Dierendonck 1996, Tsui 2000, De Lorenzo 2007, Betz 2015, Kaplan & Hegarty 2017). 이 연구는 근거리-원거리 조건이 아닌, 동일 전력의 다중 CDMA 신호가 공존하는 상황에 중점을 둔다. 특히 정지궤도 위성 환경에서는 위성 간 상대 도플러가 매우 작기 때문에 교차상관 성분이 시간 평균에 의해 충분히 상쇄되지 않고, 바이어스 형태의 코드 추적 오차로 남을 가능성이 있다. 이러한 현상은 기존 문헌에서 Doppler collision의 관점으로도 설명되며, 상대 도플러가 수신기 코드 추적 루프의 유효 평균화 범위보다 충분히 작을 경우 그 영향이 더욱 두드러질 수 있다 (Nouvel et al. 2007, Petovello 2016).
Satellite-Based Augmentation System (SBAS)는 정지궤도 위성을 통해 보정 메시지를 송신하는 시스템이며, SBAS 신호의 특성은 항공용 수신기 MOPS 표준 (RTCA DO-229)에 규정되어 있다 (ICAO 2025, Porras Sánchez & Pisonero Berges 2006). 또한 일본의 Quasi-Zenith Satellite System (QZSS)는 경사 동기 궤도와 함께 정지궤도 위성을 운용하며, L1 C/A 포함하여 L1-SAIF 등 다양한 항법 신호를 송신한다. QZSS 신호 구조 및 인터페이스 특성은 QZSS Interface Control Document (ICD)에 정의되어 있다 (Cabinet Office, Government of Japan 2022). 정지 궤도 위성을 활용하는 이러한 시스템에서는 특정 지역에서 두 개 이상의 정지 궤도 위성 신호가 동시에 가시권에 존재할 수 있으며, 이 경우 동일 또는 유사 전력 다중 신호 환경이 형성될 가능성이 있다. 기존 연구 사례에서도 실제 GEO 위성 수신 데이터를 이용하여 이러한 저 상대도플러 환경에서의 추적 오차 현상을 분석한 사례도 보고된 바 있다 (Nouvel et al. 2007, Petovello 2016). 따라서 이 논문은 이러한 조건을 교차상관 유발 DLL 코드 추적 바이어스가 상대적으로 크게 나타날 수 있는 대표적인 분석 환경으로 설정하였다. 이러한 환경에서는 서로 다른 PRN 코드 간 교차상관이 Delay Lock Loop (DLL) 코드 추적 판별기 특성에 영향을 미쳐 영점 교차 위치 이동, 즉 코드 추적 바이어스를 유발할 수 있다.
이 연구의 목적은 다음과 같다.
(1) 서로 다른 PRN 코드 간 교차상관으로 인해 발생하는 DLL 코드 추적 판별기의 비대칭성을 설명하는 이론적 체계 정립
(2) 영점 교차 위치 이동에 해당하는 코드 추적 바이어스에 대한 1차 해석적 근사식 유도
(3) PRN 1번부터 32번까지의 모든 순서쌍에 대해 MATLAB 시뮬레이션 수행하여 판별기 왜곡 지표 및 상관 특성 계산
GPS L1 C/A 신호는 1023 chip 길이의 PRN 확산 코드를 사용하며, 위성별 PRN은 서로 상이한 G2 탭 조합에 의해 생성되는 골드 코드 집합에서 정의된다. 신호 구성 및 코드 구조의 상세 사양은 IS-GPS-200에 규정되어 있다 (U.S. Coast Guard NAVCEN 2022).
GPS L1 C/A PRN 코드는 길이 N(1023)의 이산 이진 주기열로 정의된다. A, B 위성의 각 PRN 코드는 Eq. (1)의 값을 가진다.
$$c_{A}[ n], c_{B}[ n] \in \left\{ – 1, + 1 \right\},n = 0,1,\ldots,N – 1$$
또한, Eq. (2)의 주기성을 만족한다.
$$c_{A}[ n + N] = c_{A}[ n],c_{B}[ n + N] = c_{B}[ n],\forall n$$
정규화하지 않은 원형 자기상관은 Eq. (3) 같이 정의된다.
$$r_{AA}(k) = \sum_{n = 0}^{N – 1}{c_{A}[ n]\text{ }c_{A}[ n – k]}$$
여기서, $k$는 chip 단위 지연을 의미한다.
자기상관은 지연 변수 $k$에 대해 짝함수(even function) 특성을 가지며 (Oppenheim & Schafer 2010) Eq. (4)를 만족한다.
$$r_{AA}(k) = r_{AA}( – k)$$
PRN A와 PRN B 사이의 정규화하지 않은 교차상관은 Eq. (5)로 정의된다.
$$r_{AB}(k) = \sum_{n = 0}^{N – 1}c_{A}[ n]\text{ }c_{B}[ n – k]$$
교차상관은 일반적으로 지연 변수 $k$에 대해 대칭이 아니며, Eq. (6)의 관계가 성립한다 (Oppenheim & Schafer 2010).
$$r_{AB}(k) = r_{BA}( – k)$$
교차상관 $r_{AB}(k)$은 일반적으로 $k$에 대해 비대칭이므로, 특정지연 $k_d$에 대해 $r_{AB}(+k_d)$와 $r_{AB}(-k_d)$는 서로 다를 수 있다.
GPS L1 C/A에 사용되는 길이 1023의 골드 코드는 주기 교차상관 값이 제한된 이산 집합을 갖는 것으로 알려져 있으며, 정규화된 최대 교차상관 크기는 대략 $\frac{65}{1023} \approx 0.064$ 수준이다 (Tsui 2000, Betz 2015, Kaplan & Hegarty 2017). 이는 자기상관 피크 대비 약 6% 수준의 진폭에 해당하며, 동일 전력의 다중 CDMA 신호가 공존하는 경우, 이후 설명할 DLL 코드 추적 판별기 출력에 바이어스 오차를 유발할 가능성이 있다.
이 연구에서는 두 GPS L1 C/A 신호가 동시에 수신되는 상황을 고려한다. 모델 단순화를 위하여 수신기는 추적 대상 PRN A에 대해 반송파 제거 및 주파수 동기화가 정상적으로 수행된다고 가정한다. 이에 따라 PRN A신호는 반송파 성분이 제거된 기저대역 등가 코드 신호($c_A(t)$)로 표현된다.
한편, 하나의 추적 채널의 반송파 제거 및 코드 역확산은 추적 대상 PRN A에 대해서만 정합되므로, 동일 채널 내에 존재하는 다른 위성 신호는 상대 지연과 잔여 도플러를 가진 간섭 성분으로 남게 된다. 따라서 이 논문에서의 상대 도플러는 수신기 전체에서 모두 제거되는 값이 아니라, 추적 대상 신호 기준으로 비추적 신호에 대해 남는 잔여 도플러를 의미한다. 이 연구는 이러한 잔여 도플러가 매우 작은 경우 교차상관 성분이 시간 평균에 의해 충분히 상쇄되지 않을 수 있는 상황을 분석 대상으로 한다. 잡음 성분을 제외한 수신 신호의 기저대역 표현은 Eq. (7)과 같이 모델링할 수 있다.
$$x(t) = \sqrt{P_{A}}c_{A}(t) + \sqrt{P_{B}}c_{B}(t – \Delta)e^{j\left( 2\pi\Delta ft + \Delta\phi_{0} \right)}$$
여기서, $P_A$, $P_B$는 수신한 PRN A와 PRN B 신호의 전력이며, $c_A(t)$, $c_B(t)$는 각각 PRN A와 PRN B의 기저대역 등가 코드 신호를 나타낸다. $\Delta$는 두 신호 간 상대 코드 지연, $\Delta f$는 PRN A 기준에서의 PRN B의 잔여 도플러 주파수 차, $\Delta\Phi_0$는 두 신호 간 초기 반송파 위상차를 의미한다.
일반적인 경우 교차상관 항의 크기는 원하는 신호와 간섭 신호의 상대 전력에 따라 달라진다. 즉, 두 신호의 전력이 서로 다르면 DLL 판별기 왜곡의 크기도 이에 비례하여 변화할 수 있다. 다만 이 논문에서는 교차상관 자체가 DLL 코드 추적 판별기에 미치는 구조적 영향을 보다 명확히 해석하기 위하여, 이후 전개와 모의시험에서 동일 전력 조건을 기본 가정으로 사용하였다.
적분 시간 $T$에서 로컬 코드 $c_A(t)$에 대한 복소 상관 출력은 Eq. (8)과 같이 정의한다.
$$Z_{xA}(\tau) = \int_{0}^{T}{x(t)\text{ }}{c_{A}}^{*}(t – \tau)\text{ }dt$$
여기서 $\tau$는 입력 신호($x(t)$)에 대하여 생성한 PRN A 신호의 상관 지연 오차이다. Eq. (7)을 Eq. (8)에 대입하면 복소 상관 출력은 Eq. (9)와 같이 전개된다.
$$Z_{xA}(\tau) = \sqrt{P_{A}}\int_{0}^{T}c_{A}(t)c_{A}^{*}(t – \tau)\text{ }dt \\
+ \sqrt{P_{B}}e^{j\Delta\phi_{0}}\int_{0}^{T}c_{B}(t – \Delta)c_{A}^{*}(t – \tau)e^{j2\pi\Delta ft}\text{ }dt$$
한편, 자기상관 및 교차상관 함수는 Eqs. (10-11) 같이 정의된다.
$$R_{AA}(\tau) = \int_{0}^{T}c_{A}(t)c_{A}^{*}(t – \tau)\text{ }dt$$
$$R_{BA}(\tau – \Delta) = \int_{0}^{T}c_{B}(t – \Delta)c_{A}^{*}(t – \tau)\text{ }dt$$
또한 잔여 도플러 차에 의한 코히어런트 적분 효과를 나타내는 정규화된 이득은 Eq. (12) 와 같이 정의된다.
$$G(\Delta f,T) = \frac{1}{T}\int_{0}^{T}e^{j2\pi\Delta ft}\text{ }dt = e^{j\pi\Delta fT}sinc(\Delta fT)$$
Eq. (12)를 이용하면 Eq. (9)는 코드 상관 성분과 잔여 도플러 차에 의한 코히어런트 적분 이득 성분으로 분리할 수 있으며, Eq. (13)과 같이 표현할 수 있다.
$$Z_{xA}(\tau) = \sqrt{P_{A}}R_{AA}(\tau) + \sqrt{P_{B}}e^{j\Delta\phi_{0}}R_{BA}(\tau – \Delta)\text{ }G(\Delta f,T)$$
한편, Eq. (12)에서 정의된 잔여 도플러 주파수 차에 의한 코히어런트 적분 이득의 크기는 Eq. (14)와 같다.
$$\left| G(\Delta f,T) \right| = \left| sinc(\Delta fT) \right|$$
Eq. (14)는 Eq. (13)의 교차상관 항에 곱해지는 성분으로, 상대 도플러 주파수 차가 증가할수록 교차상관 항의 코히어런트 적분 과정에서 평균화에 의해 상쇄되어 감소함을 의미한다. 반대로, Eq. (15) 조건의 경우에는 교차상관 항은 코히어런트하게 유지되어 시간 평균에 의해 충분히 상쇄되지 않는다.
$$\mid \Delta f \mid T \ll 1$$
또한 DLL 루프 대역폭 $B_n$에 의해 결정되는 시간척도에서 상대 위상차가 유지되는 조건은 유효 평균 시간 $T_{eff} \approx \frac{1}{2B_n}$에 대해 Eq. (16)으로 표현할 수 있다.
$$|\Delta f|T_{eff} \ll 1$$
이는 코히어런트 적분 구간뿐만 아니라 DLL 동작 시간 척도에서도 교차상관 성분이 평균화되지 않고 유지될 수 있음을 의미한다. 여기서 상대 도플러가 작다는 것은 추적 대상 신호에 대한 도플러 보상 이후에도 비추적 신호에 대해 남는 잔여 도플러가 작다는 의미이다. 따라서 원하는 신호는 정상적으로 추적되더라도, 간섭 신호의 교차상관 성분은 적분 및 루프 평균화 과정에서 충분히 제거되지 않을 수 있다. 반대로 잔여 도플러가 충분히 크면 교차상관 성분의 위상이 빠르게 변화하여 평균화 효과가 증가하고, DLL 판별기 왜곡의 영향은 감소하게 된다. 특히 정지궤도 위성 환경에서는 위성 간 상대 도플러 주파수 차($\Delta f$)가 매우 작기 때문에 상기 조건이 성립할 가능성이 높으며, 그 결과 교차상관 성분이 시간 평균에 의해 충분히 상쇄되지 않고 유지될 수 있다.
Early–Late 간격을 2d(chips), 코드 위상 지연을 $\tau$(chips)라 두면 Early와 Late 상관 출력은 Eq. (17)과 같이 정의된다.
$$E_{c}(\tau) = Z_{xA}(\tau + d;T),\quad L_{c}(\tau) = Z_{xA}(\tau – d;T)$$
Eq. (17)을 전개하면 Eqs. (18-19)와 같이 표현된다.
$$E_{c}(\tau) = \sqrt{P_{A}}R_{AA}(\tau + d) + \sqrt{P_{B}}e^{j\Delta\phi_{0}}R_{BA}(\tau + d – \Delta)\text{ }G(\Delta f,T)$$
$$L_{c}(\tau) = \sqrt{P_{A}}R_{AA}(\tau – d) + \sqrt{P_{B}}e^{j\Delta\phi_{0}}R_{BA}(\tau – d – \Delta)\text{ }G(\Delta f,T)$$
DLL에서 사용되는 코드 추적 판별기는 여러 형태가 존재하며, 대표적으로 정규화된 E-L 판별기 (normalized early minus late envelope discriminator), 비코히어런트 E–L 판별기 (non-coherent early minus late power discriminator), 코히어런트 내적 판별기 (coherent dot product discriminator) 등이 알려져 있다 (Van Dierendonck 1996, Motella et al. 2010, Kaplan & Hegarty 2017, Cassel 2023). 이 논문에서는 정규화된 E-L 판별기를 사용하며, 이 코드 추적 판별기에서는 Early와 Late 출력은 Eqs. (20-21)과 같이 복소 상관값의 크기로 정의된다.
$$E(\tau) = \left| E_{c}(\tau) \right|$$
$$L(\tau) = \left| L_{c}(\tau) \right|$$
이 연구에서 사용한 정규화된 E-L 판별기 출력은 Eq. (22)와 같이 정의된다 (Van Dierendonck 1996, Kaplan & Hegarty 2017).
$$D(\tau) = \frac{E(\tau) – L(\tau)}{E(\tau) + L(\tau)}$$
단일 PRN 신호만 존재0 하는 경우 Early와 Late 출력은 자기상관 함수에 의해 결정되며 판별기 특성 곡선은 $\tau = 0$을 기준으로 대칭 구조를 갖는다. 그러나 두 개 이상의 CDMA 신호가 동시에 존재하는 경우 Early와 Late 상관 출력에는 교차상관 성분이 포함된다. 교차상관 함수는 일반적으로 $R_{BA}(\tau +d-\Delta) \ne R_{BA}(\tau – d – \Delta)$이므로 Early와 Late 출력에 서로 다른 영향을 미칠 수 있다. 이러한 비대칭성은 판별기 특성 곡선의 형태를 변화시키며, 그 결과 영점 교차 위치가 이동할 수 있다.
복소 상관식을 실수 및 허수 성분으로 분해하면 Early와 Late 출력에는 자기상관 성분, 교차상관 성분, 그리고 두 성분의 곱에 비례하는 교차항이 포함된다. 이러한 전개 과정은 Appendix A에 제시하였다.
교차 상관 신호가 없는 이상적인 경우 0, Early와 Late 출력은 Eqs. (23-24)로 표현된다.
$$E_{0}(\tau) = \sqrt{P_{A}}\text{ }R_{AA}(\tau + d)$$
$$L_{0}(\tau) = \sqrt{P_{A}}\text{ }R_{AA}(\tau – d)$$
따라서 이상적인 정규화된 E-L 판별기는 Eq. (25)와 같다.
$$D_{0}(\tau) = \frac{E_{0}(\tau) – L_{0}(\tau)}{E_{0}(\tau) + L_{0}(\tau)}$$
자기상관 함수는 짝함수(even function)이므로 Eq. (26)을 만족한다.
$$R_{AA}(\tau) = R_{AA}( – \tau)$$
이에 따라 이상적인 코드 추적 판별기 특성 곡선은 Eq. (27)과 같이 $\tau=0$을 기준으로 대칭 구조를 갖는다.
$$D_{0}(0) = 0$$
또한 $\tau \approx 0$근방에서는 판별기를 Eq. (28)과 같이 1차 근사할 수 있다 (Kaplan & Hegarty 2017).
$$D_{0}(\tau) \approx D_{0}^{‘}(0)\tau$$
여기서 $D^{\prime}_0(0)$는 DLL 판별기의 기준 기울기를 의미한다.
한편 두 CDMA 신호가 동시에 존재하는 경우 0, 판별기 출력은 교차 상관항이 추가되어 Eq. (29)와 같이 표현된다.
$$D(\tau) = D_{0}(\tau) + \Delta D(\tau)$$
여기서 $\Delta D(\tau)$는 교차상관에 의해 추가되는 판별기 왜곡 성분이다.
Appendix A의 Eqs. (A15, A21)에 따르면 Eq. (22) 판별기의 분자항은 추적점 근방에서 Eq. (30)과 같이 근사화 할 수 있다.
$$E(\tau) – L(\tau) \approx \sqrt{P_{A}}\left[ R_{AA}(\tau + d) – R_{AA}(\tau – d) \right] \\
+ \sqrt{P_{B}}{|G|\cos}{\phi\left[ R_{BA}(\tau + d – \Delta) – R_{BA}(\tau – d – \Delta) \right]}$$
Eq. (30)의 첫 번째 항은 자기상관에 의해 결정되는 이상적인 판별기 성분이며, 두 번째 항은 교차상관에 의해 추가되는 성분이다. 자기상관 함수는 $\tau$에 대해 대칭이지만, 교차상관 함수는 일반적으로 Eq. (31)과 같은 특성을 가지므로 Early와 Late 출력에 서로 다른 영향을 미치게 된다.
$$R_{BA}(\tau + d – \Delta) \neq R_{BA}(\tau – d – \Delta)$$
이로 인해 판별기 특성 곡선은 비대칭 구조를 갖게 되며 영점 교차 위치가 이동할 수 있다.
Fig. 1은 이 연구에서 분석한 PRN 조합 중 코드 추적 판별기 왜곡이 가장 크게 나타난 최대 왜곡 PRN 조합에 해당하는 결과이다. Fig. 1에서 점선은 단일 PRN 신호만 존재할 때의 이상적인 코드 추적 판별기 특성 곡선이며, 실선은 추가 PRN 신호가 존재할 때의 판별기 특성 곡선을 나타낸다. 교차 상관의 영향으로 영점 교차 위치가 $\tau_{bias}$만큼 이동하는 것을 확인할 수 있다.
Eqs. (28-29)를 이용하여 왜곡된 코드 추적 판별기를 Eq. (32)와 같이 근사화 하자.
$$D(\tau) \approx D_{0}^{‘}(0)\tau + \mathrm{\Delta}D(\tau)$$
영점 교차 위치 $\tau_{bias}$를 구하기 위하여 Eq. (32)에 ($D(\tau_{bias})=0$)를 적용한다. 코드 추적 바이어스는 Eq. (33)과 같이 근사화 된다.
$$\tau_{bias} \approx – \frac{\mathrm{\Delta}D(0)}{D_{0}^{‘}(0)}$$
또한 Eq. (30)의 교차상관 항의 크기는 $|G(\Delta f, T)| cos \ cos \Phi$ 에 비례한다. 따라서 DLL 바이어스 오차의 크기는 두 신호 간 상대 반송파 위상 $\Phi$와 코히어런트 적분 구간에 의해 결정되는 상관 이득 $G(\Delta f,T)$에 의존하게 된다.
일반적인 GNSS 환경에서는 위성 간 상대 도플러 차이에 의해 상대 위상이 시간에 따라 빠르게 변화하므로 교차항이 부분적으로 평균화 된다. 그러나 GEO 환경에서는 위성 간 상대 도플러가 매우 작기 때문에 Eq. (34)와 같이 근사화 할 수 있다.
$$\left| G(\Delta f,T) \right| \approx 1$$
이 경우 교차상관 성분은 코히어런트 적분 과정에서 충분히 평균화되지 않으며, 동일 전력의 CDMA 신호가 공존하는 경우에도 판별기 특성 곡선의 비대칭 왜곡이 지속될 수 있다. 이러한 왜곡은 DLL 추적점의 영점 교차 위치 이동으로 나타나며, 결과적으로 코드 추적 바이어스 오차를 유발한다.
이러한 이론적 특성을 바탕으로 4장에서는 PRN 조합에 따른 DLL 판별기 왜곡 특성과 코드 추적 바이어스를 모의실험을 통해 분석한다.
Fig. 1. DLL discriminator asymmetry due to cross-correlation (worst PRN pair).
3장에서 교차상관 간섭이 DLL 코드 추적 판별기 특성을 왜곡시키고, 그 결과 판별기의 영점 교차 위치 이동에 따른 코드 추적 바이어스가 발생할 수 있음을 보였다. 교차 상관의 영향도는 PRN 조합에 따라 서로 다르게 나타날 수 있으며, DLL 설계 파라미터에 의해서도 영향을 받을 수 있다.
DLL 설계에서 중요한 파라미터 중 하나는 Early–Late 간격 $(d)$이다. $d$가 작아질수록 DLL의 코드 추적 지터 (code tracking jitter)가 감소하며, 특히 다중경로에 의한 코드 추적 오차가 줄어드는 것으로 알려져 있다 (Van Dierendonck 1996, Betz 2015, Kaplan & Hegarty 2017). 이번 장에서는 PRN 조합에 따른 판별기 왜곡 특성을 분석하고, Early–Late 간격 변화에 따른 DLL 코드 추적 바이어스의 크기 변화를 함께 살펴본다.
분석은 MATLAB을 이용하여 수행하였다. PRN 1부터 PRN 32까지 모든 PRN에 대하여 GPS L1 C/A 코드를 생성하였으며, 단일 코드만 있을 때와 2개 신호가 $\Delta$ 위상차로 존재할 때의 상관값을 이용하여 판별기 특성을 비교 분석하였다.
모의 시험을 위한 주요 파라미터는 다음과 같다.
또한 교차상관 간섭에 의한 판별기 왜곡 성분을 보다 명확하게 분리하기 위하여 단일 신호만 존재하는 경우의 기준 판별기 출력 $D_0(\tau)$는 이상적인 삼각형 자기상관 함수를 가정하여 계산하였다. 판별기 왜곡의 크기 비교는 각 PRN 쌍에 대해서 영점 교차 위치 $\tau_{bias}$를 구하여 비교하였다.
Fig. 2는 모든 PRN 조합에 대해 계산된 결정론적 코드 추적 바이어스를 계산하고, 각 PRN 조합에 대해서 A, B 신호의 상대 코드 지연($\Delta$) 전체에 대한 코드 추적 바이어스의 RMS를 나타낸다. RMS 값은 코드 위상 전체 구간에서 발생하는 평균적인 판별기 왜곡 오차를 나타낸다.
Fig. 2에서와 같이 PRN 조합에 따라 교차 상관 영향이 서로 다르게 나타난다. 일부 PRN 조합에서는 상대적으로 큰 판별기 왜곡이 발생하는 것을 확인할 수 있다. 분석된 DLL 추적 바이어스는 약 1.47×0.01 chip ~ 1.78×0.01 chip 수준으로 나타났다. 이는 GPS L1 C/A 신호 기준으로 1 chip이 약 293 m에 해당하므로 0.01 chip은 약 2.93 m 수준의 코드 측정 오차를 의미한다. 따라서 이 논문에서 관찰된 판별기 왜곡은 실제 의사거리(pseudorange) 측정치에 유의미한 영향을 줄 수 있는 수준으로 해석될 수 있다.
Fig. 3은 모든 PRN 조합에 대해 계산된 최대 DLL 판별기 왜곡을 나타낸다. RMS 값이 코드 위상 전체 구간에서의 평균적인 왜곡 수준을 나타내는 반면, 최대값은 특정 상대 코드 지연에서 발생할 수 있는 최악의 판별기 왜곡 크기를 의미한다. 이러한 최대 왜곡은 특정 조건에서 DLL 판별기 곡선의 영점 교차 위치를 이동시켜 코드 추적 바이어스를 유발할 수 있다. GPS L1 C/A 코드의 경우 PRN 조합에 따라 왜곡의 부호는 달라질 수 있으나, 최대 왜곡의 절대값은 유사한 수준으로 나타나는 경향을 보인다. 이는 골드 코드 계열의 교차상관 특성과 관련이 있는 것으로 해석할 수 있다.
Early–Late 간격이 판별기 특성에 미치는 영향을 확인하기 위해 $d=0.2, 0.1$ chip에 대해 DLL 코드 추적 바이어스를 계산하여 Figs. 4, 5에 나타내었다.
Figs. 4, 5는 Early–Late 간격 d를 각각 0.2 chip과 0.1 chip으로 설정한 경우에 대한 PRN 조합에 따른 판별기 왜곡 특성을 나타낸다. Fig. 4는 판별기 왜곡의 RMS 값을, Fig. 5는 최대 판별기 왜곡을 보여준다. 각 그림에서 (a)는 d=0.1 chip, (b)는 d=0.2 chip인 경우의 결과를 나타낸다.
Figs. 4, 5의 결과를 보면 Early–Late 간격이 감소함에 따라 판별기 왜곡의 RMS 값과 최대값이 모두 전반적으로 감소하는 경향을 확인할 수 있다. 이는 상관기 간격이 작아질수록 교차상관으로 인한 DLL 판별기 왜곡이 완화되기 때문으로 해석할 수 있다. 따라서 DLL 설계에서 Early–Late 간격을 작게 설계하는 것은 교차상관 간섭에 의한 코드 추적 바이어스를 완화하는데 도움이 될 수 있다.
Fig. 2. RMS DLL tracking bias for PRN pairs.
Fig. 3. Maximum DLL tracking bias for PRN pairs.
Fig. 4. RMS DLL tracking bias for PRN pairs at different early-late spacings (d=0.1, d=0.2).
Fig. 5. Maximum DLL tracking bias for PRN pairs at different early-late spacings (d=0.1, d=0.2).
이 연구에서는 정지 궤도 위성 환경에서 동일 전력 GPS L1C/A 신호가 공존할 때 교차상관이 DLL 코드 추적 판별기에 미치는 영향을 분석하고, 이로 인해 발생할 수 있는 판별기 비대칭성과 코드 추적 바이어스 오차의 특성을 정리하였다. 분석 결과, C/A 코드의 자기상관 함수는 대칭 특성을 가지지만 PRN 간 교차상관 함수는 일반적으로 비대칭 구조를 가지며, 이로 인해 판별기 출력에 오프셋이 발생하고 영점 교차 위치가 이동할 수 있음을 확인하였다. 이러한 분석을 통해 이 논문은 상대 도플러 차이가 매우 작은 조건에서 교차상관 유발 DLL 추적 바이어스의 최대 가능 수준을 해석적으로 제시하였다.
이 연구를 통한 분석에 따르면 PRN 조합에 따라 판별기 왜곡의 크기가 달라질 수 있으며, GPS L1 C/A 코드의 경우 최대 왜곡의 절대값은 거의 동일하고 왜곡의 부호만 달라지는 경향을 보였다. 이는 골드 코드 계열인 C/A 코드의 교차상관 특성과 관련이 있을 것으로 추정한다. 또한 Early–Late 간격에 따른 판별기 왜곡 특성을 분석한 결과, 상관기 간격이 감소할수록 판별기 왜곡의 RMS 값과 최대 값이 모두 감소하는 경향을 확인하였다.
이 논문에서 도출한 DLL 추적 바이어스는 실제 의사거리 측정치 기준으로는 수 m 수준의 오차 가능성으로 해석될 수 있다. 따라서 이 연구는 저 상대도플러 및 동일 전력 조건에서 실제 코드 측정 정확도에 유의미한 영향을 줄 수 있는 구조적 오차 메커니즘을 제시한다는 점에서 의미가 있다.
향후 연구에서는 실제 GNSS 수신기를 이용하여 PRN 간 교차상관에 의해 발생하는 코드 추적 오차와 의사거리 측정 오차 증가를 실험적으로 검증하고, 다수 PRN 공존 환경 및 상대 도플러 변화에 따른 바이어스 완화 경향까지 포함하여 보다 확장된 분석을 수행할 예정이다.
CONTENTS
Fig. 1. TEXT
Table 1. TEXT
TABLE
H. S. Seo performed the main research and analysis. Y. S. Choi contributed to review and editing of the manuscript.
The authors declare no conflict of interest.
Betz, J. W. 2015, Engineering satellite-based navigation and timing: global navigation satellite systems, signals, and receivers (Hoboken, NJ: Wiley).
[DOI]
Cabinet Office, Government of Japan 2022, quasi-zenith satellite system interface specification IS-QZSS-L1-CA, version 1.6
Cassel, R. S. 2023, Noncoherent code discriminator gains for global navigation satellite system signal tracking, Navigation, 70, 598. https://doi.org/10.33012/navi.598
[DOI]
De Lorenzo, D. S. 2007, Navigation accuracy and interference rejection for GPS adaptive antenna arrays, Ph.D. dissertation, Stanford University
International Civil Aviation Organization 2025, Guidance document for the implementation of satellite-based augmentation system (SBAS) in the Asia/Pacific region
Kaplan, E. D. & Hegarty, C. J. 2017, Understanding GPS/GNSS: principles and applications, 3rd ed. (Norwood, MA: Artech House).
Motella, B., Savasta, S., Margaria, D., & Dovis, F. 2010, A method to assess robustness of GPS C/A code in presence of CW interferences, International Journal of Navigation and Observation, 2010, Article ID 294525, 1-8. https://doi.org/10.1155/2010/294525
[DOI]
Nouvel, O., Sihrener, M., Issler, J. L., Lestarquit, L., Macabiau, C., et al. 2007, SBAS C/A code interferences: observations and induced tracking errors, Proc. of the 20th International Technical Meeting of the Satellite Division of The Institute of Navigation (ION GNSS 2007), Fort Worth, TX, 25-28 Sep 2007, pp.950-959
Oppenheim, A. V. & Schafer, R. W. 2010, Discrete-time signal processing, 3rd ed. (Upper Saddle River, NJ: Pearson).
Petovello, M. 2016, What is Doppler collision and is it a problem in GNSS?, Inside GNSS, Jan./Feb. 2016, pp.26-36.
Porras Sánchez, D. & Pisonero Berges, C. 2006, The EGNOS SBAS message format explained [Internet], cited 2026, available from: https://gssc.esa.int/navipedia/index.php/The_EGNOS_SBAS_Message_Format_Explained
Tsui, J. B.-Y. 2000, Fundamentals of global positioning system receivers: a software approach (Hoboken, NJ: Wiley).
[DOI]
U.S. Coast Guard NAVCEN 2022, NAVSTAR GPS space segment/navigation user segment interfaces IS-GPS-200N
Van Dierendonck, A. J. 1996, GPS receivers, in Global positioning system: theory and applications, vol.1, eds. B. W. Parkinson, J. J. Spilker, P. Axelrad, & P. Enge (Reston, VA: AIAA), pp.329-408
이 부록에서는 본문 Eqs. (13, 18, 19)에서 정의된 Early와 Late 복소 상관 출력의 크기를 1차 근사로 전개한다. 이하 전개에서는 교차상관 항이 코드 상관 성분과 잔여 도플러 주파수차에 의한 코히어런트 적분 이득 성분으로 분리되어 표현된 모델을 사용한다.
Early 복소 상관 출력은 Eq. (A1)과 같이 표현된다.
$$E_{c}(\tau) = \sqrt{P_{A}}R_{AA}(\tau + d) + \sqrt{P_{B}}e^{j\Delta\phi_{0}}R_{BA}(\tau + d – \Delta)G(\Delta f,T)$$
여기서 본문 Eq. (12)의 코히어런트 적분 이득을 이용하면 교차상관 항은 Eq. (A2)로 표현할 수 있다.
$$e^{j\Delta\phi_{0}}G(\Delta f,T) = \left| G(\Delta f,T) \right|\text{ }e^{j\phi}$$
이때 유효 위상은 Eq. (A3)과 같이 정의된다.
$$\phi \triangleq \Delta\phi_{0} + \pi\Delta fT$$
GPS L1 C/A 코드의 상관 함수는 실수 함수로 취급할 수 있으므로, Eq. (A1)의 실수부 및 허수부는 각각 Eqs. (A4, A5)가 된다.
$$I_{E}(\tau) = \sqrt{P_{A}}R_{AA}(\tau + d) + \sqrt{P_{B}}\left| G(\Delta f,T) \right|R_{BA}(\tau + d – \Delta)\cos\phi$$
$$Q_{E}(\tau) = \sqrt{P_{B}}\left| G(\Delta f,T) \right|R_{BA}(\tau + d – \Delta)\sin\phi$$
따라서 Early 출력의 크기는 Eq. (A6)과 같다.
$$E(\tau) = \left| E_{c}(\tau) \right| = \sqrt{I_{E}^{2}(\tau) + Q_{E}^{2}(\tau)}$$
Eq. (A6)을 전개하면 Eq. (A7)로 정리된다.
$$E(\tau) = \sqrt{\left( P_{A}R_{AA}^{2}(\tau + d) + 2\sqrt{P_{A}P_{B}}{\left| G(\Delta f,T) \right|R_{AA}(\tau + d)R_{BA}(\tau + d – \Delta)\cos}\phi + P_{B}\left| G(\Delta f,T) \right|^{2}R_{BA}^{2}(\tau + d – \Delta) \right)}$$
이제 Eqs. (A8, A9)와 같이 정의하자.
$$A_{E}(\tau) = P_{A}R_{AA}^{2}(\tau + d)$$
$$\begin{matrix} \epsilon_{E}(\tau) = 2\sqrt{P_{A}P_{B}}\left| G(\Delta f,T) \right|R_{AA}(\tau + d)R_{BA}(\tau + d – \Delta)\cos\phi \end{matrix} \\
+ P_{B}\left| G(\Delta f,T) \right|^{2}R_{BA}^{2}(\tau + d – \Delta)$$
Eq. (A7)은 Eq. (A10)과 같이 정리할 수 있다.
$$E(\tau) = \sqrt{A_{E}(\tau) + \epsilon_{E}(\tau)}$$
추적점 근방에서는 자기상관 피크가 교차상관보다 충분히 크다고 가정할 수 있으므로 Eq. (A11)이 성립된다.
$$\left| \epsilon_{E}(\tau) \right|\begin{matrix} \ll A_{E}(\tau) \end{matrix}$$
따라서 제곱근 함수의 1차 근사를 적용하면, Eq. (A10)은 Eq. (A12)와 같이 근사화 가능하다.
$$E(\tau) \approx \sqrt{A_{E}(\tau)} + \frac{\epsilon_{E}(\tau)}{2\sqrt{A_{E}(\tau)}}$$
Eqs. (A8, A9)를 대입하면, Eq. (A13)과 같이 정리된다.
$$E(\tau) \approx \sqrt{P_{A}}\text{ }\left| R_{AA}(\tau + d) \right| \\
+ \sqrt{P_{B}}\left| G(\Delta f,T) \right|\frac{R_{AA}(\tau + d)}{\left| R_{AA}(\tau + d) \right|}R_{BA}(\tau + d – \Delta)\cos\phi \\
\begin{matrix} + \frac{P_{B}\left| G(\Delta f,T) \right|^{2}R_{BA}^{2}(\tau + d – \Delta)}{2\sqrt{P_{A}}\left| R_{AA}(\tau + d) \right|} \end{matrix}$$
추적점 근방에서는 RAAτ+d>0라 둘 수 있으므로, Eq. (A13)은 Eq. (A14)와 같이 단순화된다.
$$E(\tau) \approx \sqrt{P_{A}}R_{AA}(\tau + d) + \sqrt{P_{B}}\left| G(\Delta f,T) \right|R_{BA}(\tau + d – \Delta)\cos\phi \\
+ \frac{\left( P_{B}\left| G(\Delta f,T) \right|^{2}R_{BA}^{2}(\tau + d – \Delta) \right)}{2\sqrt{P_{A}}R_{AA}(\tau + d)}$$
특히 교차상관 항이 충분히 작아 마지막 2차 항은 생략이 가능하다. 이를 적용하면, Eq. (A14)는 Eq. (A15)와 같이 간략화 할 수 있다.
$$E(\tau) \approx \sqrt{P_{A}}R_{AA}(\tau + d) + \sqrt{P_{B}}\left| G(\Delta f,T) \right|R_{BA}(\tau + d – \Delta)\cos\phi$$
Late 복소 상관 출력은 Eq. (A16)과 같다.
$$L_{c}(\tau) = \sqrt{P_{A}}R_{AA}(\tau – d) + \sqrt{P_{B}}e^{j\Delta\phi_{0}}R_{BA}(\tau – d – \Delta)G(\Delta f,T)$$
Eqs. (A2, A3) 과정을 동일하게 이용하면 Late 상관 출력은 Eqs. (A17, A18)이 된다.
$$I_{L}(\tau) = \sqrt{P_{A}}R_{AA}(\tau – d) + \sqrt{P_{B}}\left| G(\Delta f,T) \right|R_{BA}(\tau – d – \Delta)\cos\phi$$
$$Q_{L}(\tau) = \sqrt{P_{B}}\left| G(\Delta f,T) \right|R_{BA}(\tau – d – \Delta)\sin\phi$$
따라서 Late 출력의 크기는 Eq. (A19)와 같다.
$$L(\tau) = \left| L_{c}(\tau) \right| = \sqrt{I_{L}^{2}(\tau) + Q_{L}^{2}(\tau)}$$
Eqs. (A12, A13)과 같이 1차 근사를 적용하면 Eq. (A20)과 같다.
$$L(\tau) \approx \sqrt{P_{A}}R_{AA}(\tau – d) + \sqrt{P_{B}}\left| G(\Delta f,T) \right|R_{BA}(\tau – d – \Delta)\cos\phi \\
+ \frac{P_{B}\left| G(\Delta f,T) \right|^{2}R_{BA}^{2}(\tau – d – \Delta)}{2\sqrt{P_{A}}R_{AA}(\tau – d)}$$
Early 성분과 동일하게 마지막 2차 항은 생략이 가능하며, Eq. (A20)은 Eq. (A21)과 같이 간략화 할 수 있다.
$$L(\tau) \approx \sqrt{P_{A}}R_{AA}(\tau – d) + \sqrt{P_{B}}\left| G(\Delta f,T) \right|R_{BA}(\tau – d – \Delta)\cos\phi$$