EKF는 비선형 시스템에서의 상태 변수를 최적으로 추정하기 위한 확장된 칼만 필터 기법으로, GNSS 기반의 좌표 추정 및 항법 시스템에서 널리 활용된다. EKF는 시간 순차적인 필터링 알고리즘으로, 예측 단계와 갱신 단계로 구성되며 (Choi et al. 2021), 본 연구에서는 코드의사거리와 도플러 관측치를 함께 활용하는 구조로 설계하였다.

코드의사거리 관측치는 수신기 좌표와 시계 오차에 대한 직접적인 제약 조건을 제공하지만, 속도 성분에 대한 정보가 부족하다. 반면 도플러 관측치는 위성-수신기 간 상대 속도에 따른 주파수 이동 정보를 포함하므로, 속도 벡터 추정에 필수적으로 사용될 수 있다. 또한 도플러는 잡음에 강인하고 짧은 간격의 동적 변화를 민감하게 반영하기 때문에 (Psiaki 2001), EKF 내에서 예측(predict) 단계의 정확도를 향상시키는 데 기여한다. 예측 단계 정확도가 향상되면 EKF의 갱신(update) 단계에서 칼만 이득과 상태 갱신량이 안정적으로 유지된다. 이러한 특성을 반영하여, 도플러 기반 속도 추정을 상태 전이에 포함시킴으로써 전체 좌표 추정의 안정성과 정확도를 개선하고자 하였다.

본 연구에서 정의한 상태 벡터는 수신기의 좌표($P_r$), 속도($V_r$), 시계 오차($\delta t_{r}$) 및 시계 드리프트($\delta \dot{t}_{r}$)를 포함하여 총 8개의 항목으로 구성되며, 이는 Eq. (14)와 같이 표현된다.

$$X = [P_{r}^{T} \quad \delta t_{r} \quad V_{r}^{T} \quad \delta \dot{t}_{r}]^{T} = [x_{r} \quad y_{r} \quad z_{r} \quad \delta t_{r} \quad \dot{x}_{r} \quad \dot{y}_{r} \quad \dot{z}_{r} \quad \delta \dot{t}_{r}]^{T}$$

시스템 행렬 $H$는 코드의사거리와 도플러 관측치에 대해 각각 선형화하여 구성한다. 코드의사거리 관측치는 수신기 좌표 및 시계 오차에 의존하며 Eq. (15)로 표현하였고, 도플러 관측치는 수신기 속도 및 시계 드리프트에 의존하며 Eq. (16)로 표현하였다. 최종적으로 두 식을 통합한 시스템 행렬은 Eq. (17)과 같다.

$$H_{pseudorange}^i = \begin{bmatrix} \frac{\partial p}{\partial x_r} & \frac{\partial p}{\partial y_r} & \frac{\partial p}{\partial z_r} & \frac{\partial p}{\partial \delta t_r} & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$$

$$H_{doppler \ shift}^i = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{\partial \dot{p}}{\partial \dot{x}_r} & \frac{\partial \dot{p}}{\partial \dot{y}_r} & \frac{\partial \dot{p}}{\partial \dot{z}_r} & \frac{\partial \dot{p}}{\partial \delta \dot{t}_r} \end{bmatrix}$$

$$H^{i} = \begin{bmatrix} \frac{\partial p}{\partial x_{r}} & \frac{\partial p}{\partial y_{r}} & \frac{\partial p}{\partial z_{r}} & \frac{\partial p}{\partial \delta t_{r}} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{\partial \dot{p}}{\partial \dot{x}_{r}} & \frac{\partial \dot{p}}{\partial \dot{y}_{r}} & \frac{\partial \dot{p}}{\partial \dot{z}_{r}} & \frac{\partial \dot{p}}{\partial \delta \dot{t}_{r}} \end{bmatrix}$$

여기서 위첨자 $i$는 $i$번째 위성을 의미하며, Eq. (17)에 따라 각 위성의 코드의사거리 및 도플러 관측 방정식이 통합되어 시스템 행렬 내 두 행으로 표현된다. 전체 시스템 행렬 $H$행의 수는 좌표 및 속도 추정에 사용되는 위성의 개수에 비례하여 구성된다.

상태 전이 행렬 $A$는 예측 단계에서 이전 시점의 상태 벡터를 기반으로 다음 시점의 상태를 산출하기 위해 사용된다. 본 연구에서는 수신기의 움직임이 비교적 짧은 시간 간격 $\Delta t$ 내에서는 일정하다고 가정하였다. 이에 따라, 현재 좌표는 이전 좌표에서 속도에 시간 간격을 곱한 이동 거리를 더하여 계산할 수 있다. 이러한 가정은 짧은 샘플링 간격에서 수신기의 이동을 단순하고 효율적으로 예측하기에 적합하다. 또한, 수신기 시계 오차와 시계 드리프트 역시 동일한 가정을 적용하였다. 따라서 상태 전이 행렬은 좌표와 속도 및 시계 오차와 시계 드리프트 간의 선형적 관계를 반영하며, 샘플링 간격 $\Delta t$에 따라 Eq. (18)과 같이 정의된다.

$$A = \begin{bmatrix} I_{4 \times 4} & I_{4 \times 4} \times \Delta t \\ 0 & I_{4 \times 4} \end{bmatrix}$$

여기서 $I_{4 \times 4}$는 $4 \times 4$ 단위행렬로, 대각 원소가 모두 1이고 나머지 원소가 0인 행렬이며 $I_{4 \times 4} \times \Delta t$항을 통해 짧은 시간 간격 내에서 수신기 속도 및 시계 드리프트가 일정하다고 가정된 상태 전이 관계를 표현하였다.

측정 잡음 공분산 행렬 $R$은 위성의 고도각($e$)과 $C/N_0$ 및 코드의사거리와 도플러의 분산 비율을 기반으로 Eq. (19)와 같이 설정하였다. 고도각이 7도 이하이거나 $C/N_0$가 35 미만인 위성은 관측에서 제외하였으며, 남은 위성들에 대해서는 두 요소에 따라 가중치를 차등적으로 부여하였다. 고도각이 낮을 수록 다중경로와 대기 지연에 의한 오차가 커지고, $C/N_0$가 낮을수록 신호 품질이 저하되므로, 각 관측치의 분산은 고도각과 $C/N_0$ 값에 반비례하도록 각각 Eqs. (20, 21)로 정의하였다. 이는 고도각이 높고 $C/N_0$가 우수한 위성일수록 작은 분산을 가지도록 하여 필터링 과정에서 더 높은 신뢰도를 반영할 수 있도록 한다. 추가적으로, 도플러 관측의 특성을 고려하여 코드의사거리와는 다른 분산 비율(scale)을 적용하여 Eq. (22)와 같이 정의하였으며, 이는 식별된 가중 계수를 통해 각 성분별로 조정하였다.

$$R = R_{e} \circ R_{C/N_{0}} \circ R_{scale}$$

$$R_{e}^{i} = \begin{cases} 1(e > 50^{\circ}) \\ \frac{1}{\sin(e)}(e \le 50^{\circ}) \end{cases}$$

$$R_{C/N_{0}}^{i} = \frac{50}{C/N_{0}} \times 4$$

$$R_{scale}^{i} = \begin{cases} 1.2^{2}(pseudorange) \\ 0.01^{2}(Doppler \ shift) \end{cases}$$

여기서 위첨자 $i$는 시스템 행렬과 동일하게 $i$번째 위성을 의미한다. 최종적으로, 본 연구에서 제안한 EKF 결합 모델은 상태 벡터, 시스템 행렬, 상태 전이 행렬, 그리고 측정 잡음 공분산 행렬을 통해 구성되었다. 이러한 구조는 코드의사거리와 도플러 관측치를 상호 보완적으로 활용함으로써, 좌표와 속도를 동시에 추정할 수 있도록 설계되었다. 특히, 도플러 관측치를 기반으로 한 속도 추정이 상태 전이 과정에 반영됨에 따라 예측 단계의 신뢰도가 향상되고, 결과적으로 갱신 단계에서 안정적인 추정 성능을 확보할 수 있다.